cours d'analyse mathématique mathi I. — KQIATIONS AI \ VAIUATIONS. 7

Link:

eriozuzerio

Link:

eriozuzerio

Link:

eriozuzerio

I. — KQIATIONS AI \ VAIUATIONS. 7 

I.;i \;ileiir aljsoliic de o,i(x) = 'A(x) — :-u{-^) est donc iiilci-ioure 
ù 2î, |)Oiirvu qu'on ait n^p -f- m; z„(x) tend donc tiniforincniont 
vers Z(.z' ) lors([ue n augmente indéfiniment. 

Au lien d'un intervalle tel que (Xq, Xq -\- h), il est clair qu'on 
pourrait aussi ap|)li({ucr la méthode à un intervalle (^o — h, Xo + /i); 
si les approximations sont uniformément convergentes pour lesy„, 
il en sera de même pour les z,/. Le théorème s'étend évidemment 
à un système formé de n -\- p équations de la l'orme 

dvi 

-±- =fi(.^: 7 i^y-2, ■■ -,7,1), (1 = 1,2, ...,n), {k = \,i, ...,p). 


dx 
(4) < dz,, 

où les fonctions y, 'j, •]> sont continues dans un certain domaine D, 
et où les fonctions /" satisfont tlans ce domaine à la condition de 
Lipschilz, relativement aux yi. Si 1 on applique à ce système la 
méthode des approximations successixes, ces approximations sont 
convergentes dans le même intervalle que les approximations pour 
les jK/ seulement, et la convergence est uniforme ('). 

io9. Intégrales considérées comme fonctions des valeurs ini- 
tiales. — rie|)r(Mii)iis [)our fixer les idées une é(piali()n différentielle 
du premier ordre 

(5). S =/'-•■'')• 

OÙ nous supposerons que f{x^ y) satisfait aux conditions lialii- 
tuelles dans un domaine 1) défini par les conditions 

a — a 5 ^^ =£ -(- «, ^ — b'Lyy^-\-b. 

l'renons un système de valeurs initiales (jToi >'(i) appartenant à 
ce domaine. Les valeurs approchées successives de 1 intégrale yi , 
y-ii •••lyni •'• restent com[)rises entre [i — l> cl ^ H- /> pourvu 



(') Les propriétés qui vont cire établies ilans les painsniphes suivants ont été 
i'ohjet d'un assez grand nombre de travaux, qu'on trouvera cités dans un Mémoire 
de M. E. Colton sur le sujet {/Julletin de la Société mathematù/uc, t. WWII, 
1909, p. 2o'f et t. XXXVIII, 1910, p. -'i). I>a nicllinde (lue j'ai suivie lu- dill'ére 
pas essentiellement de celle de M. Cotton. 



8 CIl.Vl'ITIŒ \XI11. — I.MhtiRM.Ls IMlM.MKNr Vul-INKS. 

que 1 on ail 

il sulTil, pour s'en assurer, de reprendre le raisonnenienl du n" 380, 
cl l'on voit de même que ^'«(^1 ^oî.I'o) tend uniformément vers 
une limite '-!>(j7; .Tq, _i'o) dans le domaine D' défini par les conditions 

a — a^x^:t -h a, a — «^aro^a-f-a, [i — b ^£y^,S.p -h b, 

I ro— :i| + M|:r — .ro|<6. 

Ce domaine Y)' contient en particulier le domaine D' délmi par 
les inégalités 

\t-ol\</,, |:ro-al</», |^.„_^I<-, 

// riant le pins petit des deux nombres a et 7-^- Les \aleurs apj)ro- 

chées successives y„{x\ Xq^ Vq) sont évidemment des fonctions 
continues de x„, y^ dans ce domaine, et par suite l'inti'grale 
y =^ ài^x; Xo,ya), qui se rêdiiil à y^, pour x = x^, est une fonc- 
tion continue de x^ et de y». 

Pour démontrer que celte fonction admet des dérivées par 
rapport à j"„ et à yo, nous supposerons que /"(.r, t) admet une 
dérivée continue /'(j", j^). Soient 



ôà 


d-b 


9 


Il 


^7o 


dr, 



les dérivées donl nous voulons établir 1 existence ; si ces déri\ées 
existent, elles vérilienl les (''(jualioi;s diOérenticlles 

(«) ^=-'/r(^'r). ^ = "/:>(^'>')- 

qui se déduiseiil iiiinK'ilialcnn'nl de r('(piali()n (,")). iXous sommes 
donc conduits à ('liKlier le svslèiue des trois é(ju:iti(»ns dillVren- 
lielles (5) et (G), et nnns pirntirous pour \alems iniliales 

\)Oviv X = x^i. Or ce système est précisément de la forme étudiée 
j)liis liant. La fonction y,/ .r, y) élant continue, nous poinons 
a|>pli(pici- It; lliéoirme cpii a cl»'- ('l.ibli; la nit'lliode de .M. Picard, 
apjilupiée à ce système, conduit à des approximations uniformé- 
ment convergentes dans le même domaine D". l*our appliquer 



I, — ÉCLATIONS MX VAIUATIONS. 9 

cette métliode, nous prendrons pour premières valeurs approchées 
y =j'u' c = I , « = o, et nous poserons 

yy{x)=yo-r' I j\t,y^)dl,- ^, = 1— / fy(t,y^)c//, 

«1 = — /(3"o, yo), 
puis, d'une façon générale, 

yn{x)=y^^ J /[t,y„-i(l)]dl, 

Zn(x) = l^ f Zn-i{t)fy\t,yn-l{t)]dt, 

f Un-x{t)fy[(,yn-x{t)\dt. 

On a d abord 
et ensuite 

|;==.+ /"/U'.r-.(')J %=!</', 

on déduit de ces relations 

^ - ^. = /"/:,('. r..-.('))[^-=»-.(o|*, 






et, par conséquent, on voit, de prociie en j)roclie, <pie 1 on a, <|uel 

que soil n. -=^— = m„, -^ = c„. 

Or la limite de y„ est l'intégrale y = 6(.r; ^'o, Vu); j)uis(pic :;„ 
el i(,i tendent unilornu'ment \ers leur-; limites, ces limites :; et // 
représentent les dérivées partielles de l'inti-grale -lix: Xq, y^) par 
rap|)orl à Xq et j^O' cl ces dérivées sont continues ilans le domaine 
(pii a été délini plus haut. 



Il' niAI'ITIli: XMII. — INTEGRALES INFINIMENT VOISINES. 

Il esl lacile cl avoir les expressions de ces tlérivées. En ellet, 
si Ion remplace j' par 'l{x; ^r,,, Vo) flans les équations (6), les 
intégrales de ce syslème qui j)ronnonl les \aleurs initiales i et 
— /('^o.J'o^ pour .r = .ro, s'oblicuiicnt ininiédialenient et nous 
donnent 

d'il I ./';K.'i'i',>ovro']rf' 

d'il I fyl'.-^-!"t,.ro.y„^]'il 

Ces formules prouvent que <b(x', x^, yo)i considérée comme fonc- 
tion des valeurs initiales o^oj^o? satisfait à l'équation aux dérivées 
partielles ( ' ) 

Le raisonnement peut s'étendre à un système dun nombre 



(') Soit •i{x, y) une function continue, adnictlanl une dérivée continue ç, ; 
la fonction 

•-a 
OÙ a est une constante, admet des dérivées partielles 

T- = r(-^i.) .>'u)-i- / -^ -r- d^^ ■>- = / -17 -T^ dx, 
Ox, ■ V ^ ^ " ' J^^ (^^ ,)j.^ oy, X 0'^^ Oy, 

et. par conséquent, la fonction '/^{x„, _>'„) est une intégrale de récjuation aux 
dérivées partielles 

(7) ^.-^-^(•^-'••>'")^='^(-^«-^'")- 

La fonction ■y(-c; x„, i'^) jouit des mêmes propriétés de réciprocité (]ue dans 
le cas où la fonction /(x,y) est liolomorplie (II, n" ;5<SS). J)c la relation 

V, = •îix,; X,, y„), 

où ^', dési^'ne la valeur de rinlé;;rale pour x = x,, on tire inversement 

.}■„= '^Cj:,,; x,,^-,), 

car il y a évidemment réciprocité entre les deux couples de variables (x,„ y„), 
(Xp y^). Kn supprimant les seconds indices, on voit ilonc que l'intégrale de 
l'équation (5), ()ui est égale à y„ pour x = x,„ vcrilie la relation j)'„ = 'y (vT,,; x, y); 
x„ étant supposé constant, on peut dire que l'équation précédente rcprésenle 
l'intégrale générale de l'équation (5) dans le domaine qui a été déliui plus haut, 
y„ étant la constante arbitraire.